用标数法计数 看清每个结点是从哪些方向来的 做到不重不漏
计数是小学阶段的一个重要内容,包括我们之前说过的,比如数三角形个数、数线段、计算围成一圈的朋友握手次数都属于计数范畴。
数三角形个数
计数的类型、方法挺多,常见的有枚举、排列、组合、加、乘原理等等。当然之前我们乘法原理用的比较多。比如说我们求某一个自然数的因数个数时,就需要把这个自然数分解质因数,写成标准的指数级形式,然后用指数加1连乘,这其实就是乘法原理。
对于这种需要多步骤才能完成的事,计数方式采用乘法原理,叫步步相乘。而对于单独就可以完成的,分类完成互不干扰的,用加法原理,也叫类类相加。
加法原理平常用的相对比较少一些,但是在标数记数法过程中,它的作用发挥得淋漓尽致。
哪些情况下会用得标数计数法呢?最常见的就是求最短路线类型题目。
因为是最短路线,首先得知道起点和结束的位置,先确定大方向。不能走回头路,不然肯定不是最短路线了。
先确定大方向
其次找出各个结点,要明白每一点可以从哪里来,用数直接标注出来。注意做到不重不漏。
如图为一幅街道图,从A点出发,必须经过十字路口B但不能经过C,走到D有多少种不同的最短路线?
从A点必须过B,但不过C,到D的最短路线
因为是需要最短路径,所以说我们是直接奔着目标去,D在右上角,我们的最短路线,大方向是向上,还有向右肯定不能往回走。
我们所要确定的是每个结点,可以从哪些方向来,将这些相加,并标注在结点位置,对于不能经过的地方可以标注成0。详细的标注过程如上图所示。可能有人要问,为什么不走到左上方呢?题目中要求必须经过B点,如果走到左上方,必须得往回走,不符合最短路线的要求,不直右下角也是同样的道理,因此这题最后共有18种最短路线。
继续看一道求有最短路线的题目。
如图,D点在修路,不能通过,那么从A处走到B处,要求走最近的路,那么一共有多少种不同的走法?
从A到B有最短路线
这题我们照样用标数法。题目中说了,不能经过D点,这个位置标注有两种方法,我们可以将这个位置标为0,当然有些老师可能会说把它遮住。当然无论是哪一种方法,效果还是一样的。
只不过我个人觉得将这个不能通过的地方标注为0,相对要简单直观一些。
最终通过标数法得出,从A处走到B处,走最近的路,共有24种不同的走法。
对于这一类的题型来说,标数法可能是既快又准的方法,大家可以举一反三。