坤鹏论：为什么同一本书中文版比英文版薄？
信息熵高，不代表说的话、写的文字的品质和内涵就比别人高。——坤鹏论
一、香农如何计算文字系统的信息熵？
首先，要明确一点——不管什么文字系统，英语或者汉语，亦或者法语、德语，本质都是一套符号系统。
在只关心文字数量不考虑内容的香农眼中，管它是英文字母，还是汉字，都只是一个符号而已。
这就是坤鹏论早先提到的，很多看似复杂无解的事情，只有敢于用奥卡姆剃刀披荆斩棘般地精简后，才能找到清晰的路径。
让我们再来看一下香农的信息熵公式：
公式中出现的Pi指的是符号系统中某个符号出现的概率。
这个概率就是某个符号在全体文字材料中出现的比例。
比如：有一本100万字的书，经过统计发现，某个字在该书中出现了1万次。
那么该字在这本书中的概率就是：1万÷100百万＝0.01＝1%。
只要把某个符号系统中所有符号的概率全都统计出来，然后再代入到信息熵公式，就能算出该符号系统的平均信息熵了。
所以，信息熵的一个重要应用领域是自然语言处理。
比如：对于人们来说，一本50万字的中文图书它的平均有多少信息量？
常用汉字约7000字，假设每个汉字是相同的出现概率，每个汉字的信息熵大约为12.77比特。
计算公式为：-log(1/7000)＝12.77
不过，和其他语言一样，汉语同样遵循Zipf定律，也就是少数文字使用频率远远高于其他文字。
实际中，前10%汉字占常用文本的95%以上。
再考虑词语等上下文关联的因素，每个汉字的平均信息熵大约是5比特左右。
那么，一本50万字的中文图书，信息熵平均约是250万比特。
阅读它，就可以消除平均约为250万比特的不确定性，也就是能够接收（输入）约250万比特的信息量。
不过，坤鹏论再次强调一次，信息量≠内容质量。
所以，这本书的品质如何，信息熵不知道，香农也不知道。
信息熵的高和低或者信息量的多或少，根本不代表说的话、写的文字的品质和内涵是高还是低。
再确切些讲，香农的信息熵，在自然语言处理中是用来对语言文字进行数据压缩的，和语言的品质无关。
二、从公式入手看影响信息熵的两大关键
从信息熵公式我们可以看出，影响它的因素只有两个：
一是，符号的数量；
二是，符号的概率分布。
坤鹏论之前讲过：公式最能揭示本质。
显然，它们就是信息熵的本质。
那么，只要围绕这两个因素探究，结合文字系统，我们就能更加深入地了解信息熵了。
1.符号的数量
首先，看一下符号数量的问题。
为了避免概率分布的影响，我们假设所有符号的概率分布是相等的，也就是等概率分布，这时：
如果，符号数量＝n；
那么，每个符号的平均信息熵＝-log(1/n)
从上面这个公式我们可以快速得出结论：
符号越多，该符号系统的平均信息熵就越大。
中文就是最典型的例子。
汉字的数量并没有准确数字，大约近十万个（目前比较大的汉字字库收入有出处汉字91251个）。
不过，就如前面所说，咱们日常所使用的汉字只有几千字。
据统计，1000个常用字能覆盖约92%的书面资料，2000字可覆盖98%以上，3000字则已到99%。
简体中文与繁体中文的统计结果差不多。
正因为中文汉字平均信息熵比英文字母高。
所以，同样一本书，用中文版要比英文版薄不少。
这就是言简意赅最实锤的体现。
让我们再逆向假设，继续反转理解一下，加深印象。
假设英文字母不再是26个，而是1000个。
等概率分布的情况下，信息熵＝-log(1/1000)＝9.97，明显比27（26个字母＋1个空格）的-log(1/27)＝4.75高了一倍多。
按照调查数据显示，母语为英语的人的单词量约为20000~35000之间。
那么，如果是1000个字母，就意味着由两个字母和三个字母的单词就足够日常使用了。
而目前英文单词平均长度在4~5个字母，简单地掐指一算，差不多可以节省约50%的字母量。
想想看，一本书，如果光是字母减少的数量，就能让该书变薄不少。
但有趣的是，世界上以字母表为主的文字，大都是20~30左右的字母组成。
2.符号的概率分布
传统热力学中，熵被定义为对系统的宏观测定，并没有涉及概率分布。
而概率分布却是信息熵的核心定义。
坤鹏论举例说明一下概率对信息熵的影响。
假设只有两个符号的文字系统，如果一个符号的出现概率是90%，另一个为10%，该系统的信息熵为：
-[0.9×log(0.9)+0.1×log(0.1)]＝-(0.9×-0.152＋0.1×-3.33)＝0.47
但是，如果两个字符是等概率的话，这套文字系统的信息熵应该是-log(1/2)＝1。
从上面的计算结果，我们可以得出结论：
符号概率分布越不均匀，信息熵越小；符号概率分布越均匀，信息熵越高。
其中原因在于，符号概率分布越均匀，每个符号与它前后符号的关联度越小。
也就意味着每个符号都很关键，不能丢。
所以，符号的不确定性高，信息熵大，可以输入的信息量大。
比如：中文一句话如果丢掉太多字，相当于缺少了大量增加确定性（可输入）的信息，本来就很强的不确定性变得更强，自然无法明白其表达的真正含义，从而无法还原。
从概率的角度分析，这是因为字与字的关联度小，意味着每个字出现的概率差不多，所以不容易猜出下一个字是什么。
从这一点看，我们是不是也能够客观地理解，为什么中国人说话声音会比较大些了？
还有为什么传话游戏中，一句并不复杂的话，最后总会被传得面目全非？
同时，再看看下面的内容，你也应该明白，为什么使用字母的国家的人，则可以轻声细语地聊天。
如果概率分布越不均匀，符号出现的关联越强，符号就越能省略，因为它们可以提供的信息少。
比如：英文表示进行时的ing，还有表示名词的tion等，即使丢一个字母，也不会妨碍阅读。
MST PPL HV LTTL DFFCLTY N RDNG THS SNTNG
上面这段是香农当初举的例子。
英语熟练的人几乎都能念出它的原文——most people have little difficulty in reading this sentence。
前面我们比较的是英文字母和汉字的信息熵。
那么，如果是英文单词呢？
信息熵是不是会高呢？
总结下来，英文一句话中每个单词前后的关联性更强，因此，英文单词的信息熵更低。
1951年，香农发表了《书面英语的预测和熵》论文，说明信息论不但可以应用于计算机语言，而且可以应用于自然语言，他还计算了英语的熵，主张从数理统计的角度去分析人类语言，他计算出单个英文单词的信息熵只有2.62。
另外，文字的概率分布也会因不同领域而存在较大不同。
像“熵”这个字，人们平常极少遇到它，其信息熵相当高。
但是，在热力学、统计力学里，它就是个常客，出现概率相当高，所以在这些专业领域，“熵”的信息熵比较低。
当然，不论什么语言，估计单位字符信息熵最高的文章莫过于数学论文，因为，数学家能用公式，绝不用文字。
三、总结：你理解文字系统的信息熵了吗？
结合香农和维纳的公式，我们可以得出不管什么样的文字系统：
每个字符的平均信息量（维纳的信息量公式）和每个字符的平均信息熵（香农的信息熵公式），数字相同，只是前面有没有负号的区别。
每个字符多少比特的平均信息量，就是可以减少相同比特量的信息熵。
那么，如果说有个消息的信息熵是100个比特，说明它还可以输入100个比特的信息量。
显而易见的是，相对信息熵高的汉语所需要的字符比英语少了不少。
由于信息熵、信息量和字符出现的概率是相反的关系，我们还可以得出：
一种语言每个字符的平均信息熵越大，说明每个字符的出现的概率越小，说明其字符数量越多，体现了该语言字符集的复杂程度；
一种语言每个字符的平均信息熵的计算，是对该语言字符系统的不确定性的度量；
一种语言中每个字符平均信息熵越大，说明该语言每个字符对信息的描述能力越大。
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