「暑假预习」初二勾股定理的简单应用 实用性强

在讲勾股定理的实际应用之前，我们先搞清楚两个基本概念。什么是勾股定理？常见的勾股数有哪些？勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。常见的勾股数：① 3、4、5； ② 5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41。要注意的是：（1）勾股数指的是正整数，小数、分数不能称之为勾股数，比如0.3、0.4、0.5就不是勾股数；（2）这些常见的勾股数的倍数也是勾股数，比如6、8、10； 10、24、26等。

一、勾股树（利用勾股定理求面积）

例题1：如图，分别以 Rt△ABC 的三边为边作三个正方形，它们面积分别为S1,S2,S3,其中S1=9,S2=16,则S3=_________.

【分析】S1=AC^2,S2=BC^2,S3=AB^2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC^2+BC^2=AB^2，因此得到：S3=S1+S2。这是勾股树的基础图形，在此基础上，可以得到很多变形，可以沿着这些正方形接着往两边画，可以把正方形变成等边三角形、变成半圆形等等。

解：S3=S1+S2=9+16=25

变式1：如图是一株美丽的“勾股树”，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，试问：正方形⑦的面积等于哪几个正方形的面积和？

变式2：图中有三个正方形 a,b,c ，若 a,c 的面积分别是 5 和 10 ，则 b 的面积是 ________

变式3：:如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，面积分别为S1,S2,S3,若S2=4,S3=7, 则S1=_______

二、利用勾股定理求最短路径问题（蚂蚁爬行问题）

例题2：如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？

【分析】蚂蚁爬行问题，我们在前面详细介绍过，详情可参照：2019中考「干货」：几何最值之蚂蚁爬行问题

三、利用勾股定理求线段长

例题3：如图，在矩形ABCD中，AD=HD，AE=HE，且AB=4，AD=3，求EH的长。

【分析】先通过SSS证明△DAE≌△DHE，可得到∠DHE=∠DAE=90°，即△EHB为直角三角形。已知AB=4，AD=3，通过勾股定理先求出BD=5，HD=AD=3，则BH=2，要求EH的长，可以设HE=AE=x，那么EB=4-x，通过勾股定理得到关于x的方程求出x的值。

解：在Rt△EHB中，EH^2+HB^2=EB^2,则x^2+2^2=（4-x）^2

解得：x=1.5，即EH=1.5

这是勾股定理中常见的三种应用，实用性强，经常在填空题或解答题中可以遇到。