初三月考 帮助提分的二次函数动点轨迹压轴题型

二次函数是初三数学难度高的章节之一，初三月考的压轴题通常也会以二次函数为考点。

以下对二次函数的基础知识点进行梳理，并提供一类重点中学难度较大的压轴题题型解析。

注：由于文本格式原因，用^符号表示指数函数， 例如x^2即为x的平方。

1、二次函数知识梳理

二次函数的常规表达式为y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c （a、b、c为常数，a≠0）；

其图像为一条抛物线，抛物线相关知识有：

1） a、b、c的符号决定抛物线的大致位置；

2） 抛物线关于x ＝ － b／2a对称，抛物线开口方向和大小与a相关；

3） 抛物线顶点坐标表达式为（－b／2a，（4ac－b^2）／4a）；

二次函数的三种常用解析式：

1）一般式： y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c ；

2）顶点式： y ＝ a（x－b）^2 ＋ c ；

3）交点式： y ＝ a（x－x1）（x－x2）；

二次函数的三种解析式通常会用于不同的场景，一般式多用在待定系数法求函数表达式；顶点式对函数作图和特征值求解有利；交点式通常会结合求解一元二次方程的根。

灵活应用抛物线解题的常用特征点：

1）已知一元二次方程的根，可以使用交点式得到二次函数解析式；

2）已知二次函数图像上y值相等的两点（x1，y0）、（x2，y0），可以得到对称轴表达式x＝（x1 ＋ x2）／2；

2、多次利用二次函数性质，求动点轨迹

无论是月考、半期或期末考试，求动点轨迹都是各大重点中学数学考试中最后一道压轴题的常见题型。

以下就对一道多次利用二次函数性质求动点轨迹的典型题进行解析，以帮助深入理解二次函数性质和解题方法的灵活应用。

题目：已知二次函数y ＝x^2 ＋ 2（m＋1）x － m ＋ 1 .

（1） 求解：随着m的变化，该二次函数图像的顶点P的轨迹表达式。判断该二次函数图像的顶点轨迹是否为抛物线？说明理由。

（2） 如果直线y ＝x ＋ 1经过该二次函数的顶点P，求此时的m值。

解体思路：

（1）因为P点为顶点，首先考虑采用抛物线顶点表达式把P点的坐标表达出来P（x，y）；

（2）理解什么是P点的轨迹，P点的轨迹即为随着横坐标x的变化，y的变化曲线；这一步很重要，也是刚接触二次函数时可能难以想到的拐点。注意此处的P点轨迹的x与原二次函数的x已然不同，它是P点轨迹函数，也就是另外一个函数的自变量域了；

（3）通过（1），P点的横纵坐标均表示为了关于m的函数，由（2）可知，仅仅知道m和x，y的函数关系不是解题的最终目标，最终目标是P点横纵坐标x与y的函数关系；那么此时将m用x代换即可；

（4）求得了P点的轨迹函数，第二问可以通过简单的求值获得。

解：

（1） 根据二次函数顶点表达式（－b／2a，（4ac－b^2）／4a），

P点坐标P（x，y）可表达为：

P（－（m＋1），－ m ＋ 1－（m＋1）^2）其中：

x＝－m－1；y＝－ m ＋ 1－（m＋1）^2 ；将m＝－x－1代入y表达式，可得：

y＝－x^2 ＋ x ＋ 2 ；由P点的轨迹函数可知，P点的轨迹是抛物线。

（2） 已知直线y ＝x ＋ 1与P点相交，利用横坐标和纵坐标分别相等，求解方程：

－x^2 ＋ x ＋ 2 ＝x ＋ 1

解得： x ＝ ±1；

代入直线方程，可得： y ＝ 0 或 y ＝ 2；

由此可知，P点坐标为（－1，0）或（1 ，2）；

代入二次函数y ＝x^2 ＋ 2（m＋1）x － m ＋ 1，求解m：

m ＝ 0 或 m ＝ －2。

分析：

此题的关键在于理解P点轨迹的含义，将函数的特征点作为分析目标，利用函数系数的不定分析求解特征点的变化轨迹，是函数的常见中高难度题型；

清晰把握函数自变量、应变量及函数表达式的内涵是解此类题型的基础。函数的简单表示即为：y ＝ f（x），但x、y和f（x）却在不同的函数关系中有不同的含义。抓住要表达的关系的本质，才能保持解题中的正确思路。

希望通过对二次函数基本知识点和典型题型解析，对进一步掌握多次利用相关性质，求解动点轨迹函数的题型有所帮助。