数学《函数》教学设计

数学《函数》教学设计

一、内容和内容解析

1．内容

变量与常量的概念．

2．内容解析

本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量．有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础．

本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能找出一个变化过程中的变量与常量．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）了解常量、变量的意义；

（2）充分体会运动变化过程中量的变化．

2．目标解析

（1）知道在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量；

（2）体会在一个变化过程中，一个量随着另一个量的变化而变化，初步体会两个变量之间的单值对应关系．

三、教学问题诊断分析

变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系，类似于二元一次方程，没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化．

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：体会运动变化过程中量的变化．

四、教学过程设计

1．创设情境，观察思考

引言

我们生活在一个变化的世界，行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化?所谓“万物皆变”．唯一不变的就是变化本身．我们发现，在各种各样的变化过程中往往蕴含着量的变化，研究这些量之间的依赖关系是我们把握变化规律的关键．

通过引言教学，提出本节课需要研究的问题，合理地引起学生注意．

2．合作探究，形成概念

问题1 有如下几个变化过程，请找出各变化过程中的量，并分类：

（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶． 行驶路程为s km/h，行驶时间为t h． 填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？

（2）电影票的售价为10元/张． 第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？

（3）用10m长的绳子围一个矩形．当矩形的一边长分别为3m,3．5m,4m,4．5m时，它的邻边分别为多少？

（4）美丽的水中涟漪图中，圆形水波纹慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别为多少？

师生活动1 教师与学生一起通过计算填表，并分析问题（1）中出现的三个量，发现其中有些量的数值是变化的，如时间t，路程s；有些量的数值是始终不变的，如速度60km/h．

在常见的“行程问题”中，引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量，可以较为自然地引导学生对三个量进行分类．

师生活动2 学生继续分析问题（2）（3）（4）中的量并分类，领会“变量”、“常量”的含义．发现在同一个变化过程中，始终保持不变的量为常量，而数值发生变化的量为变量．

有前述的示范引导，让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量，通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律，深刻体会变量与常量的含义． 问题2 在上述问题1的四个变化过程中，请思考：

（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶． 行驶路程为s km/h，行驶时间为t h． s的值随t的值的变化而变化吗？

（2）电影票的售价为10元/张． 设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？

（3）美丽的水中涟漪图中，圆形水波纹慢慢地扩大．在这一过程中，设圆的半径为r，圆的面积S，S的值随r的值的变化而变化吗？

（4）用10m长的绳子围一个矩形．设矩形的一边长为x，邻边长为y，y的值随x的值的变化而变化吗？

师生活动 学生思考并回答．

从实际问题中抽象出变量，进一步体会常量与变量之间、变量与变量之间的关系，初步体会同一个变化过程中两个变量之间的依赖关系和对应关系．

3．初步辨析，强化认识

问题3 指出下列问题中的变量和常量：

（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元．

（2）某地手机通话费为0．2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元．

师生活动 学生通过独立思考和合作交流，解决问题．

教师引导学生在2个常见的简单的实际问题中，通过合理、正确的思维，指出同一问题中的变量和常量．第（3）题仍然沿用圆形水波的问题背景，但讨论的角度由圆的面积变为圆的周长，常量为圆周率π，变量为圆的半径r和周长C．

问题4 请根据下列背景构造变化过程中的常量和变量：

（1）水中涟漪（圆形水波）不断扩大．

（2）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放）．

师生活动 学生分组讨论，通过合作交流，探索结论．

本题是在学生认识了变化过程中的常量和变量后，只给出问题背景，让学生通过思考，在已有知识基础上构造变量，进一步认识常量与变量．

第（1）题可以记圆的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π． 第（2）题可以第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．

4．简单应用，巩固概念

例1 指出下列变化过程中的常量和变量：

（1）购买一些单价为0．5元/支的铅笔，总价y随购买支数x的变化而变化．

（2）已知三角形底边长为8cm，高h可任意伸缩，面积S随高h的变化而变化． 师生活动1 学生独立完成．

追问 你能根据已经学过的知识，给出同一问题中两个变量之间的数量关系吗？

在数学问题中识别常量和变量，并分别用倍数关系和三角形面积公式找出两个变量之间的数量关系，为后续函数关系作铺垫．

5．小结

回顾本节课内容，引导学生总结新知：

（1）什么叫变量？什么叫常量？

（2）你认为同一变化过程中的变量之间有联系吗？

6．布置作业：举一组运动变化的例子并指出其变量和常量．

五、目标检测设计

1．半径是r的圆的周长为C=2πr，下列说法正确的是( )

A．C，r是变量，2π 是常量 B．C是变量，2，r是常量

C． C，r是变量，2，π是常量D．C，π是变量，2是常量

考查常量与变量的意义．圆的周长C是随着圆的半径r的变化而变化的．

2．给定了火车的速度120km/h,要研究火车运行的路程与时间的关系．在这个问题中,常量是变量是；若给定路程为500km，要研究速度与之间的关系．在这个问题中,常量是______，变量是________．

考查常量与变量的含义．在同一变化过程中，常量与变量的.关系是相对的．

3．分别指出下列各关系式中的常量与变量:

（1）如果等腰三角形的顶角的度数为α，那么底角的度数β与α之间的关系式为

．

（2）如果某种报纸的单价为a元/份，x表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总 价y(元)与份数x之间的关系式是y=ax．

考查常量与变量的含义．第（1）题中常量是180°，变量是α，β．第（2）题中常量是a，变量是x，y．

《函数》同步测试

湖北省赤壁市教研室 来小静

一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）

1． 某人要在规定时间内加工100个零件，对剩余零件个数p与工作时间t之间的关系，下列说法正确的是（ ）

A．数量100、p、t都是变量 B．数量100和p都是常量

C．p、t都是常量 D．100、t都是常量

考查目的：考查常量和变量的概念．

答案：C．

解析：在同一变化过程中，始终保持不变的是常量，数量变化的是变量．故答案应选择C．

2． 一根蜡烛原长是a（cm），点燃后燃烧的时间为t（min）,剩余蜡烛的长为y（cm）下列说法正确的是（ ）

A．常量是a，变量是y、tB．常量是t，变量是a、y

C．常量是y，变量是a、tD．以上说法都不对

考查目的：考查常量与变量的概念．

答案：A．

解析：蜡烛原长是固定的，所以a是常量，点燃后，燃烧时间越长，剩余蜡烛越短， y随

着t的变化而变化,所以t，y是变量．故答案应选择A．

3．以固定的速度

间的关系式是(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度(米)与小球的运动的时间(秒)之，在这个关系式中，常量、变量分别为( )

是常量，、是变量

、、是变量 A．4．9是常量，、是变量 B．C．、是常量，、是变量 D．4．9是常量，考查目的：考查常量和变量的概念．

答案：C． 解析：在关系式中，速度和数量是常量，小球的高度(米)随小球的运动时间(秒)的变化而变化，是变量． 故答案应选择C．

二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）

4． 齿轮每分钟120转，如果表示转数，表示转动时间，那么用表示的关系是，其中 为变量， 为常量．

考查目的：考查常量与变量的概念． 答案：；；． 是常量；转数随着时间的变化解析：齿轮的转速为

而变化，所以转/分，是固定不变的，所以是变量．

5． 表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度（单位m）落下时弹跳高度（单位m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是．

考查目的：考查变量间的关系．在具体问题中，用代数是表示变量间的关系． 答案：．

的取值是相应的下落高度的值的一半，故关系解析：根据表格数据分析，小球弹跳高度式为．

6．

表中有个变量，其中 随 的变化而变化，变化趋势是 ．

考查目的：考查常量与变量的概念．

答案：2；人口数；时间；随着时间的增大，人口数也在增大．

解析：从表中可以看到，人口数随时间（年份）的变化而变化．变量有两个．随着时间的推移，人口数也越来越大．

三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

7

（1）上面的表格反映了哪两个变量之间的关系？ （2）请估计销售量是15千克时，销售额是多少元？

考查目的：考查实际背景下常量与变量的概念．

答案：（1）表格反映了销售数量x

（千克）与销售额y（元）之间的关系；（2）估计销售15千克时，销售额是31．5元．

解析：表格第一行是销售量，第二行是对应的销售额，用常量和变量的概念可以判断．根据表中提供的数据，不难发现，销量与销售额的数量关系为

可得．

的顶点在直线m上，顶点、在直线n上，，将代入式中，8．已知直线m、n之间的距离是4，

指出其中的变量和常量,并求的面积s与的边长x之间的关系式．

考查目的：考查常量与变量的概念及变量间的关系．

答案：常量是4，变量是x、s．面积s与的边长x之间的关系式为．

解析： 本题以三角形面积为问题背景，考查常量与变量之间的关系．此问题中，三角形的高是定值，当底边的长变化时，面积s相应变化．根据三角形面积公式得到

．