数学中考：2019年北京压轴题 出题人也喜欢打心理战术

今天为大家推荐的是一道北京市2019年的数学中考压轴题之一。此题综合考查了基本作图，推理论证和猜测说理等能力。

面对综合性强的数学试题，首先要有良好的心态，很多同学一看，既要作图，又要推理，还要猜测说理，先在心理上就给题目打上了难的标签。这样的状态肯定会影响我们对题目本身的思考。所以这个时候，需要的是大家的冷静，根据题目的要求本身，一步步地进行分析，对问题逐个进行解决。

中考真题

(2019 北京市)

已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=根号3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

01 参考答案

（1） 补全图形如下图所示

（2）在△OPM中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM

∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM

∴∠OMP=∠OPN

（3）过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB.

∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF

在△NPF和△PMK中

∵∠NPF=∠PMK

∠NFO=∠PMK=90°

PM=PM.

∴△NPF≌△PMK（AAS）

∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK.

又∵ON=PQ，在Rt△NOF和Rt△PKQ中

ON=PQ

NF=PK。

∴Rt△NOF≌Rt△PKQ（HL），∴KQ=OF.

设MK=y，PK=x

∵∠POA=30°，PK⊥OQ

∴OP=2x，∴OK=根号3倍x，OM=根号3倍x-y

∴OF=OP+PF=2x+y

MH=OH-OM=根号3+1-(根号3倍x-y)

KH =OH-OM=根号3+1-根号3倍x

∵M与Q关于H对称，∴MH=HQ

∴KQ=KH+HQ=根号3+1-根号3倍x+根号3+1-(根号3倍x-y)

∵KQ=OF，∴整理可得相应的结果

所以x =1，即PK=1

∵∠POA=30°，∴OP=2

对于此题，大家还有哪些新奇而合理的解法呢？欢迎大家留言。

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